Bharti Bhawan Mathematics Solution Class 10 Chapter 13 ऊंचाई और दूरी [Height and Distance] Objective Questions

 

 विविध प्रश्नावली

---

Question 1

(a) यदि $5 \sec A=13$, बाकी सभी त्रिकोणमितीय अनुपात के मान परिभाषा से निकालें

(b) $\triangle A B C$ में $\angle B=90^{\circ}, A B=7$ सेमी और $A C-B C=1$ सेमी हैं तो

(i) $\sin C$

(ii) $\cos C$

(iii) $\tan A+\sec A$ के मान ज्ञात करें।

---

Question 2

यदि $3 \cot A=4$ तो सिद्ध करें कि $\frac{1-\tan ^2 A}{1+\tan ^2 A}=\cos ^2 A-\sin ^2 A$.

---

Question 3

मान ज्ञात करें : 

(i) $\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-{cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}$.

(ii) $\frac{2}{3} {cosec}^2 58^{\circ}-\frac{2}{3} \cot 58^{\circ} \cdot \tan 32^{\circ}-\frac{5}{3} \tan 13^{\circ} \cdot \tan 37^{\circ} \cdot \tan 45^{\circ} \cdot \tan 53^{\circ} \cdot \tan 37$

---

Question 4

$A B C$ एक समकोण त्रिभुज में $\angle A=90^{\circ}, A D \perp B C, \angle B A D=30^{\circ}$ और $A D=6{~cm}$ तो $\triangle{ABC}$ की परिमिति ज्ञात करें।

---

Question 5

यदि $5 \cos \theta=3$ तो त्रिकोणमितीय तादात्म्यों के प्रयोग से 

(i) $\tan \theta$ 

(ii) ${cosec} \theta$

(iii) $\sin \theta+\cot \theta$ के मान निकालें।

---

Question 6

निम्नलिखित तादात्प्य स्थापित करें :

$(\sin \theta+{cosec} \theta)^2+(\cos \theta+\sec \theta)^2=\tan ^2 \theta+\cot ^2 \theta+7$

---

Question 7

निम्नलिखित तादात्प्य स्थापित करें :

$(\sin A-{cosec} A)(\cos A-\sec A)=\frac{1}{\tan A+\cot A}=\sin A \cdot \cos A$

---

Question 8

निम्नलिखित तादात्प्य स्थापित करें :

(i) $\frac{\cot A}{1-\tan A}+\frac{\tan A}{1-\cot A}=1+\sec A \cdot {cosec} A$

(ii) $\sin \theta(1+\tan \theta)+\cos \theta(1+\cot \theta)=\sec \theta+{cosec} \theta$

---

Question 9

निम्नलिखित तादात्प्य स्थापित करें :

$2 \sec ^2 \theta-\sec ^4 \theta-2 {cosec}^2 \theta+{cosec}^4 \theta=\cot ^4 \theta-\tan ^4 \theta$

---

Question 10

निम्नलिखित तादात्प्य स्थापित करें :
$(\frac{1-\tan A}{1-\cot A})^2=\frac{1+\tan ^2 A}{1+\cot ^2 A}$

---

Question 11

निम्नलिखित तादात्प्य स्थापित करें :

(i) $\frac{\sin A-\cos A+1}{\sin A+\cos A-1}=\sec A+\tan A$

(ii) $\frac{\tan A+\sec A-1}{\tan A-\sec A+1}=\frac{1+\sin A}{\cos A}$

---

Question 12

निम्नलिखित तादात्प्य स्थापित करें :
मान बताएँ : $\frac{\sin ^2 63^{\circ}+\sin ^2 27^{\circ}}{\cos ^2 17^{\circ}+\cos ^2 73^{\circ}}$

---

Question 13

सिद्ध करें कि-

(i) $\tan 67^{\circ} \cdot \tan 42^{\circ} \cdot \tan 23^{\circ} \cdot \tan 48^{\circ}=1$

(ii) $\sin 38^{\circ} \cdot \sin 52^{\circ}-\cos 38^{\circ} \cdot \cos 52^{\circ}=0$

---

Question 14

निम्नलिखित तादात्प्य स्थापित करें :

(i) यदि ${cosec}(A-20^{\circ})=\sec 4 A$ जहाँ $20^{\circ}<A$ और $4 A$ न्यूनकोण है तो $A$ का मान निकालें।

(ii) यदि $\tan \theta=\cot(30^{\circ}+\theta)$ तो सिद्ध करें कि $\theta=30^{\circ}$

---

Question 15

1.2 m लंबी एक लड़की जमीन पर खड़ी होकर पाती है कि एक गुब्बारा जमीन से 88.2 m ऊँचाई पर एक सीध में जमीन के समांतर उड़ रहा है। किसी क्षण वह गुब्बारे का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ पाती है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर $30^{\circ}$ हो जाता है। बताएँ कि इस दौरान गुब्बारा ने कितनी दूरी तय की थी।

---

Question 16

30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर 1.5 m लंबा एक लड़का खड़ा है। वह भवन की तरफ कुछ दूरी चलने पर पाता है कि उन्नयन कोण $30^{\circ}$ से बढ़कर $60^{\circ}$ हो जाता है। बताएँ वह लड़का भवन की ओर कितनी दूरी गया था।

---

Question 17

जमीन पर स्थित किसी बिंदु से 20 m ऊँचे एक भवन पर खड़ा एक झंडे के जड़ और शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः $45^{\circ}$ और $60^{\circ}$ हैं। झंडे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

---

Question 18

किसी मीनार के शीर्ष से एक व्यक्ति मीनार की ओर समरूप वेग से आते हुए एक गाड़ी का अवनति कोण $30^{\circ}$ पाता है। 6 sec के बाद वह गाड़ी का अवनति कोण $60^{\circ}$ पाता है। उस क्षण के कितने समय बाद गाड़ी मीनार के जड़ तक पहुँच जाएगी?

---

Question 29

कोई ऊर्ध्वाधर मीनार 10 m ऊँचे झंडे के खंभे की चोटी पर समकोण बनाती है। यदि उनंक्ष बीच की दूरी 20 m हो तो मीनार की ऊँचाई निकालें।

---

Question 30

एक घर सड़क के दूसरी ओर अपने सामने स्थित किसी स्तंभ के सिरे पर समकोण बनाता है तथा वह सरल रेखा जो स्तंभ को घर के सिरे से मिलाती है, ऊर्ध्वाधर दिशा में $60^{\circ}$ का कोण बनाती है। यदि सड़क की चौड़ाई 45 m हो तो घर की ऊँचाई निकालें।

---

Question 31

एक मीनार पर ध्वजदंड खड़ा है। मीनार से 10 m दूर जमीन पर मीनार और ध्वजदंड क्रमशः $45^{\circ}$ और $15^{\circ}$ के कोण बनाते हैं। ध्वजदंड की लंबाई बताएँ।

---

Question 32

एक मनुष्य एक घर के बाहर खड़ा है। उसने एक खिड़की की चोटी तथा पाद के उन्नयन कंण क्रमशः $60^{\circ}$ और $45^{\circ}$ पाए। यदि वह आदमी घर से 10 फुट की दूरी पर हो तथा उसकी ऊँचाई 5 फुट हो तो खिड़की की लंबाई ज्ञात कीजिए।

---

Question 33

दो ऊर्ध्वाधर स्तंभों के बीच की दूरी 60 m है और एक की ऊँचाई दूसरे से दुगुनी है। उनकी जड़ों को मिलानेवाली रेखा के मध्यबिंदु पर उनके शिखरों के उन्नयन कोण एक-दूसरे के पूरक हैं। उनकी ऊँचाई निकालें।

---

Question 34

(i) दो भूमि केंद्रों से मापने पर एक कृत्रिम उपग्रह के उन्नयन कोण एकही ओर क्रमशः $30^{\circ}$ और $60^{\circ}$ हैं। यदि केंद्रों के बीच की दूरी 400 km हो तो उपप्रह की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। $(\sqrt{3}=1.73)$

(ii) किसी नहर के एक तट पर एक/टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरतः खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ हैं इसी तट पर उस बिंदु से 20 मीटर दूर और उस बिंदु को मीनार के पाद से मिलानेवाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है। टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

---

Question 35

किसी मीनार के आधार से गुजरनेवाली सरल रेखा पर $a$ और $b$ दूरियों पर स्थित क्रमशः दो बिंदुओं $P$ और $Q$ से मीनार के शीर्ष के उन्नयन कोण पूरक हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई $\sqrt{a b}$ है।

---

Question 36

एक मनुष्य, जो नदी के किनारे एक पहाड़ी पर खड़ा है, ठीक नीचे के किनारे की ओर समरूप वेग से आते हुए पानी के जहाज का अवनमन कोण $30^{\circ}$ देखता है। यदि छह मिनट बाद यह अवनमन कोण $60^{\circ}$ हो जाता है तो जहाज को अपनी पहली स्थिति से किनारे तक पहुँचने में कितना समय लगेगा?