प्रश्नावली - 7A
Question 1
रिक्त स्थानों को भरें।
(i) चित्र (a) के समकोण त्रिभुज में $A B=B C=x$ सेमी, तो $A C=$ .........
(ii) चित्र (b) में कोण $B>90^{\circ}$ तथा भुजा $C B$ बिंदु $D$ तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि $A D \perp C D$ तो $A B^2+B C^2+2 B C \times B D=$ ........
(iii) चित्र (c) में $\angle B<90^{\circ}$ तथा $A D$, भुजा $B C$ पर लंब है, तो $A B^2+B C^2-A C^2=2 B C \cdot(........)$
(iv) चित्र (d) में $\triangle A B C$ की एक माध्यिका $A D$ है जो भुजा $B C$ को समद्विभांजित करती है, तो $A B^2+A C^2=2(........ B C)^2+2 A D^2$.
(v) $\triangle P Q R$ में, $P Q^2+Q R^2=P R^2$, तो $\angle Q=........$
<image to be added>
https://youtu.be/dJ1W1tVUpRM?list=PLjdyu8jZ1QEE7fPSXprLUa6PKRBr8i7HZ&t=1066
Question 2
(i) $\triangle A B C$ में $\angle A=90^{\circ}$ हो तो $B C^2-A B^2$ कितना होगा ?
(ii) यदि त्रिभुज $A B C$ में $A B^2+A C^2=B C^2$ और $A B=A C$, तो $\angle C$ का मान कितने अंशों के बराबर होगा?
(iii) समकोण त्रिभुज की दो भुजाओं, जो समकोण की भुजाएँ हैं, की लंबाइयाँ क्रमशः $a$ तथा $b$ हैं, तो तीसरी भुजा की लंबाई क्या होगी?
Question 3
बगल के समकोण त्रिभुज $A B C$ में अज्ञात भुजा ज्ञात करें जबकि
(i) $a=12, c=5$
(ii) $a=36, c=27$
(iii) $b=50, a=14$
(iv) कर्ण $=13$ सेमी, एक भुजा की लंबाई $=12$ सेमी
<image to be added>
https://youtu.be/dJ1W1tVUpRM?list=PLjdyu8jZ1QEE7fPSXprLUa6PKRBr8i7HZ&t=1396
Question 4
(i) $\triangle A B C$ में $a=30$ सेमी, $b=40$ सेमी, $c=50$ सेमी है तो $\angle C$ की माप कितनी होगी?
(ii) समद्विबाहु समकोण $\triangle A B C$ का कोण $B$ समकोण है। यदि $B C=4$ सेमी तो $C A$ का मान कितना होगा?
(iii) आकृति में $P R \perp P Q ; \angle P K R$ का मान ज्ञात कीजिए।
<image to be added>
https://youtu.be/dJ1W1tVUpRM?list=PLjdyu8jZ1QEE7fPSXprLUa6PKRBr8i7HZ&t=1469
Question 5
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ निम्नांकित हैं। इनमें कौन-कौन-से त्रिभुज $A B C$ समकोण त्रिभुज हैं ?
(i) $a=36, c=15, b=41$
(ii) $a=48$ मी, $b=50$ मी, $c=14$ मी
(iii) $a=13$ सेमी, $b=12$ सेमी, $c=5$ सेमी
Question 6
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ निम्नलिखित हैं। इनमें कौन-से त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं हैं?
(i) $a=2$ सेमी, $b=5$ सेमी, $c=6$ सेमी
(ii) $a=5$ सेमी, $b=6$ सेमी, $c=7$ सेमी
(iii) $a=7$ सेमी, $b=24$ सेमी, $c=25$ सेमी (iv) $a=5$ सेमी, $b=8$ सेमी, $c=11$ सेमी
(iv) $A B=6 \sqrt{3}$ सेमी, $A C=12$ सेमी, $B C=6$ सेमी
Question 7
(i) एक यात्री किसी नगर की अंतिम सीमा से 10 मीटर पूरब की ओर जाता है और उसके बाद 30 मीटर उत्तर की ओर जाता है। अभी वह नगर की अंतिम सीमा से कितनी दूरी पर है ?
(ii) एक टैक्सी, किसी स्टैंड को छोड़ता है एवं उत्तर की ओर 100 किमी/घं० की चाल से चलता है। उसी समय दूसरा टैक्सी उसी स्टैंड को छोड़ता है और पश्चिम की ओर 120 किमी/घं० की चाल से चलता है। वे दोनों टैक्सी $1 \frac{1}{2}$ घंटे बाद कितनी दूरी अलग होंगे?
Question 8
एक सीढ़ी, जिसकी लंबाई 25 मी हैं, एक घर की अगली दीवार के साथ इस प्रकार खड़ी है कि इसकी चोटी पृथ्वी से 20 मी ऊँची है तो बताइए कि सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी दीवम्द की जड़ से कितनी है।
Question 9
(i) एक सीढ़ी इस तरह रखी गई है कि उसका निचला सिरा दीवार से 2.5 मी की दूरी पर है और उसका ऊपरी सिरा भूमि से 6 मी ऊँची खिड़की तक जाता है। सीढ़ी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
(ii) एक सीढ़ी 10 मी लंबी है और 8 मी ऊँची खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी की जड़ की दूरी निकालें।
Question 10
एक सीढ़ी सड़क के एक ओर से मकान की दीवार के साथ खड़ी की गई जिससे इसकी चोटी पृथ्वी से 48 मीटर ऊँची और पैर दीवार की जड़ से 14 मीटर दूर है। सीढ़ी के पैरों को बिना हटाए इसको उलटकर सड़क से दूसरी ओर के मकान की दीवार के सहारे खड़ा कर दिय गया; इस प्रकार इसकी चोटी पृथ्वी से 14 मीटर ऊँची रही। सड़क की चौड़ाई निकालें।
Question 11
एक ताड़ का वृक्ष हवा के झोंके के कारण कुछ ऊँचाई से टूट जाता है और इसकी चोटी वृक्ष की जड़ से 9 मीटर दूरी पर पृथ्वी पर आकर टिक जाती है, तो वृक्ष की पूरी लंबाई ज्ञात कीजिए जबकि इसका टूटा हुआ भाग 41 मीटर लंबा है।
Question 12
14 मीटर और 50 मीटर ऊँचे दो बाँस मैदान में लंब रूप से खड़े हैं। यदि उनकी चोटियों की दूरी 45 मीटर हो तो उनके निचले सिरों के बीच की दूरी निकालिए।
Question 13
$\triangle A B C$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका $\angle B$ समकोण है। $A B=3$ सेमी तथा $B C=4$ सेमी कर्ण $A C$ पर बिंदु $B$ से लंब $B P$ डाला गया जो कि कर्ण $A C$ से बिंदु $P$ पर मिलता है; तो $B P$ का मान कितना होगा?
Question 14
(i) किसी समचतुर्भुज के विकर्ण 8 सेमी तथा 6 सेमी हैं। उसकी भुजा की लंबाई ज्ञात करें।
(ii) किसी समचत्तुर्भुज की एक भुजा 5 सेमी तथा एक कर्ण 6 सेमी है। दूसरे कर्ण की लम्बाई ज्ञात करें।
Question 15
यदि $A B C D$ एक समलंब हो, तो प्रत्येक में $x$ निर्धारित कीजिए।
>image to be added<
https://youtu.be/K0xUiaRQ9cE?list=PLjdyu8jZ1QEE7fPSXprLUa6PKRBr8i7HZ&t=1
Question 16
(i) भुजा $2 a$ वाले समबाहु त्रिभुज में सिद्ध कीजिए कि शीर्षलंब की लंबाई $\sqrt{3} a$ है।
(ii) सिद्ध कीजिए कि समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई के वर्ग का चौगुना उसकी भुजा के वर्ग का तिगुना होता है।
(iii) $A B C$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जो $C$ पर समकोण है। सिद्ध करें कि $A B^2=2 A C^2$ ।
(iv) $A B C$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ $A C=B C$. यदि $A B^2=2 A C^2$, तो सिद्ध करें कि $A B C$ एक समकोण त्रिभुज है।
Question 17
$P$ तथा $Q$ क्रमशः $\triangle A B C$ की भुजाओं $C A$ तथा $C B$ के मध्यबिंदु हैं। यदि $\angle C=$ एक समकोण, तो सिद्ध करें कि
(a) $4 A Q^2=4 A C^2+B C^2$
(b) $4 B P^2=4 B C^2+A C^2$
Question 18
$\triangle A B C$ में $\angle C=$ समकोण तथा बिंदु $P, Q$ क्रमशः भुजा $C A$ तथा $C B$ पर हैं; सिद्ध कीजिए कि $A Q^2+B P^2=A B^2+P Q^2$.
Question 19
$\triangle A B C$ के आधार $B C$ पर डाला गया लंब $A D$, भुजा $B C$ को $D$ पर प्रतिच्छेद करता है।
(i) यदि $D B=3 C D$, सिद्ध कीजिए कि $2 A B^2=2 A C^2+B C^2$.
(ii) यदि $B D=\frac{1}{3} C D$, सिद्ध कीजिए कि $2 C A^2=2 A B^2+B C^2$.
Question 20
समद्विबाहु त्रिभुज $A B C$ में $A B=A C$ और $B D$, शीर्ष $B$ से भुजा $A C$ पर डाला गया लंब है।. सिद्ध कीजिए कि $B D^2-C D^2=2 C D \cdot A D$.
Question 21
$A B C$ एक त्रिभुज है जिसमें $A B=A C$ और $D$, भुजा $B C$ पर कोई बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि $A B^2-A D^2=B D \cdot C D$.
Question 22
(i) $\triangle A B C$ में $\angle C$ अधिककोण हो और $B D, A C$ के बढ़ाए हुए भाग पर लंब हो, तो सिद्ध कीजिए कि $A B^2=B C^2+C A^2+2 C A \cdot C D$.
(ii) $\triangle A B C$ में $\angle A$ अधिककोण हो और $C D, B A$ के बढ़ाए हुए भाग पर लंब हो तो सिद्ध कीजिए कि $B C^2=C A^2+A B^2+2 A B \cdot A D$.
Question 23
(i) यदि $\triangle A B C$ में $\angle C$ न्यूनकोण हो और $B D$, भुजा $C A$ अथवा $C A$ के बढ़ाए हुए भाग पर लंब हो तो सिद्ध कीजिए कि $A B^2=B C^2+C A^2-2 C A \cdot C D$.
(ii) यदि $\triangle A B C$ में $\angle A$ न्यूनकोण हो और $C D$, भुजा $A B$ अथवा $A B$ के बढ़ाए हुए भाग पर लंब हो तो सिद्ध कीजिए कि $B C^2=C A^2+A B^2-2 A B \cdot A D$.
Question 24
(i) $\triangle A B C$ में $D$, भुजा $C A$ का मंध्यबिंदु है तो सिद्ध कीजिए कि
$B C^2+B A^2=2 B D^2+\frac{1}{2} C A^2$
Question 25
यदि किसी चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण परस्पर समकोण पर कटें तो सिद्ध कीजिए कि
$A B^2+C D^2=B C^2+D A^2$
Question 26
$A B C D$ एक समचतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि
$A B^2+B C^2+C D^2+D A^2=A C^2+B D^2$
Question 27
यदि $\triangle A O B$ में $\angle A O B=$ एक समकोण तथा $O A=a, O B=b, A B=c$ और $O$ से $O P(=p), A B$ पर लंब डाला गया है, तो सिद्ध कीजिए कि
$\frac{1}{p^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \text { और } p c=a b$
Question 28
$\triangle A B C$ के अंदर बिंदु $O$ से भुजाओं $B C, C A$ और $A B$ पर क्रमशः लंब $O D, O E$ और $O F$ डाले गए हैं। सिद्ध कीजिए कि
$A F^2+B D^2+C E^2=O A^2+O B^2+O C^2-O D^2-O E^2-O F^2$
Question 29
त्रिभुज $A B C$ में, $D$ भुजां $B C$ का मध्यबिंदु है और $A E \perp B C$. सिद्ध कीजिए कि
(i) $A C^2=A D^2+B C \cdot D E+\frac{1}{4} B C^2$
(ii) $A B^2=A D^2-B C \cdot D E+\frac{1}{4} B C^2$
Question 30
समद्विबाहू त्रिभुज $A B C$ में $A B=A C$ तथा भुजा $A C$ पर $B E$ लंब है; तो सिद्ध करें कि $B C^2=2 A C \cdot C E$.
Question 31
किसी समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई, उस त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा की दुगुनीसे 6 मीटर अधिक है। यदि शेष भुजा कर्ण से 2 मीटर छोटी हो तो त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
Question 32
सिद्ध करें कि एक वर्ग की एक भुजा पर निर्मित समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उस समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा है जो वर्ग के विकर्ण पर निर्मित है।
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